Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40842 / 8520
↖ ↑ ↗
← N 78.827554°
E 44.351807°		 ← 118.35 m → N 78.827554°
E 44.357300°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
N 78.826490°
E 44.351807°		 ← 118.36 m →
14 002 m²		 N 78.826490°
E 44.357300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623207092285156 y=0.130012512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623207092285156 × 216)
    floor (0.623207092285156 × 65536)
    floor (40842.5)     		tx = 40842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130012512207031 × 216)
    floor (0.130012512207031 × 65536)
    floor (8520.5)     		ty = 8520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40842 / 8520 ti = "16/40842/8520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40842/8520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40842 ÷ 216
    40842 ÷ 65536     		x = 0.623199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8520 ÷ 216
    8520 ÷ 65536     		y = 0.1300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1300048828125 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32474788397424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77408506} λ = 0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32474788397424))-π/2
    2×atan(10.2241021008404)-π/2
    2×1.47329834005924-π/2
    2.94659668011848-1.57079632675     		φ = 1.37580035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37580035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.827554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40842 KachelY 8520 0.77408506 1.37580035 44.351807 78.827554
    Oben rechts KachelX + 1 40843 KachelY 8520 0.77418093 1.37580035 44.357300 78.827554
    Unten links KachelX 40842 KachelY + 1 8521 0.77408506 1.37578178 44.351807 78.826490
    Unten rechts KachelX + 1 40843 KachelY + 1 8521 0.77418093 1.37578178 44.357300 78.826490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37580035-1.37578178) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dl = 118.309469999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37580035-1.37578178) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dr = 118.309469999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77408506-0.77418093) × cos(1.37580035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193762588004863 × 6371000     		do = 118.347819036916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77408506-0.77418093) × cos(1.37578178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193780806041153 × 6371000     		du = 118.358946390676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37580035)-sin(1.37578178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193762588004863-0.193780806041153)×R²
    abs(0.77418093-0.77408506)×1.82180362897355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82180362897355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82180362897355e-05×40589641000000     		ar = 14002.3259821214m²