Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40842 / 57489
↖ ↑ ↗
← S 79.319960°
E 44.351807°		 ← 113.19 m → S 79.319960°
E 44.357300°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 79.320978°
E 44.351807°		 ← 113.18 m →
12 814 m²		 S 79.320978°
E 44.357300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623207092285156 y=0.877220153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623207092285156 × 216)
    floor (0.623207092285156 × 65536)
    floor (40842.5)     		tx = 40842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877220153808594 × 216)
    floor (0.877220153808594 × 65536)
    floor (57489.5)     		ty = 57489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40842 / 57489 ti = "16/40842/57489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40842/57489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40842 ÷ 216
    40842 ÷ 65536     		x = 0.623199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57489 ÷ 216
    57489 ÷ 65536     		y = 0.877212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.754425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37009619101482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77408506} λ = 0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37009619101482))-π/2
    2×atan(0.0934717347045933)-π/2
    2×0.0932009331197443-π/2
    0.186401866239489-1.57079632675     		φ = -1.38439446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38439446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.319960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40842 KachelY 57489 0.77408506 -1.38439446 44.351807 -79.319960
    Oben rechts KachelX + 1 40843 KachelY 57489 0.77418093 -1.38439446 44.357300 -79.319960
    Unten links KachelX 40842 KachelY + 1 57490 0.77408506 -1.38441223 44.351807 -79.320978
    Unten rechts KachelX + 1 40843 KachelY + 1 57490 0.77418093 -1.38441223 44.357300 -79.320978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38439446--1.38441223) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38439446--1.38441223) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77408506-0.77418093) × cos(-1.38439446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185324298019329 × 6371000     		do = 113.193814714039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77408506-0.77418093) × cos(-1.38441223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185306835812382 × 6371000     		du = 113.183149011598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38439446)-sin(-1.38441223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185324298019329-0.185306835812382)×R²
    abs(0.77418093-0.77408506)×1.74622069473718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74622069473718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74622069473718e-05×40589641000000     		ar = 12814.3702455561m²