Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40842 / 10158
↖ ↑ ↗
← N 76.942970°
E 44.351807°		 ← 137.99 m → N 76.942970°
E 44.357300°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
N 76.941729°
E 44.351807°		 ← 138 m →
19 043 m²		 N 76.941729°
E 44.357300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623207092285156 y=0.155006408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623207092285156 × 216)
    floor (0.623207092285156 × 65536)
    floor (40842.5)     		tx = 40842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155006408691406 × 216)
    floor (0.155006408691406 × 65536)
    floor (10158.5)     		ty = 10158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40842 / 10158 ti = "16/40842/10158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40842/10158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40842 ÷ 216
    40842 ÷ 65536     		x = 0.623199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10158 ÷ 216
    10158 ÷ 65536     		y = 0.154998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154998779296875 × 2 - 1) × π
    0.69000244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16770660081894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77408506} λ = 0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16770660081894))-π/2
    2×atan(8.73822081458137)-π/2
    2×1.45685225056155-π/2
    2.91370450112309-1.57079632675     		φ = 1.34290817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34290817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.942970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40842 KachelY 10158 0.77408506 1.34290817 44.351807 76.942970
    Oben rechts KachelX + 1 40843 KachelY 10158 0.77418093 1.34290817 44.357300 76.942970
    Unten links KachelX 40842 KachelY + 1 10159 0.77408506 1.34288651 44.351807 76.941729
    Unten rechts KachelX + 1 40843 KachelY + 1 10159 0.77418093 1.34288651 44.357300 76.941729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34290817-1.34288651) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34290817-1.34288651) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77408506-0.77418093) × cos(1.34290817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225920785927076 × 6371000     		do = 137.989653033043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77408506-0.77418093) × cos(1.34288651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225941885869426 × 6371000     		du = 138.002540619778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34290817)-sin(1.34288651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225920785927076-0.225941885869426)×R²
    abs(0.77418093-0.77408506)×2.10999423491676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10999423491676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10999423491676e-05×40589641000000     		ar = 19042.8900587882m²