Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40840 / 8519
↖ ↑ ↗
← N 78.828618°
E 44.340820°		 ← 118.34 m → N 78.828618°
E 44.346313°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 78.827554°
E 44.340820°		 ← 118.35 m →
14 009 m²		 N 78.827554°
E 44.346313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623176574707031 y=0.129997253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623176574707031 × 216)
    floor (0.623176574707031 × 65536)
    floor (40840.5)     		tx = 40840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129997253417969 × 216)
    floor (0.129997253417969 × 65536)
    floor (8519.5)     		ty = 8519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40840 / 8519 ti = "16/40840/8519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40840/8519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40840 ÷ 216
    40840 ÷ 65536     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8519 ÷ 216
    8519 ÷ 65536     		y = 0.129989624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129989624023438 × 2 - 1) × π
    0.740020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32484375777348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32484375777348))-π/2
    2×atan(10.225082371343)-π/2
    2×1.47330762800001-π/2
    2.94661525600002-1.57079632675     		φ = 1.37581893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37581893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.828618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40840 KachelY 8519 0.77389331 1.37581893 44.340820 78.828618
    Oben rechts KachelX + 1 40841 KachelY 8519 0.77398918 1.37581893 44.346313 78.828618
    Unten links KachelX 40840 KachelY + 1 8520 0.77389331 1.37580035 44.340820 78.827554
    Unten rechts KachelX + 1 40841 KachelY + 1 8520 0.77398918 1.37580035 44.346313 78.827554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37581893-1.37580035) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37581893-1.37580035) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77398918) × cos(1.37581893) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.193744360091235 × 6371000     		do = 118.336685650337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77398918) × cos(1.37580035) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.193762588004863 × 6371000     		du = 118.347819037053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37581893)-sin(1.37580035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193744360091235-0.193762588004863)×R²
    abs(0.77398918-0.77389331)×1.82279136284325e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.82279136284325e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.82279136284325e-05×40589641000000     		ar = 14008.5487386435m²