Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4084 / 4803
↖ ↑ ↗
← S 29.649869°
W  0.527343°		 ← 4 246.68 m → S 29.649869°
W  0.483398°		 →
↑
4 245.89 m
↓
↑
4 245.89 m
↓
S 29.688053°
W  0.527343°		 ← 4 245.07 m →
18 027 506 m²		 S 29.688053°
W  0.483398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49859619140625 y=0.58636474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49859619140625 × 213)
    floor (0.49859619140625 × 8192)
    floor (4084.5)     		tx = 4084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58636474609375 × 213)
    floor (0.58636474609375 × 8192)
    floor (4803.5)     		ty = 4803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4084 / 4803 ti = "13/4084/4803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4084/4803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4084 ÷ 213
    4084 ÷ 8192     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4803 ÷ 213
    4803 ÷ 8192     		y = 0.5863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.542262208502075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542262208502075))-π/2
    2×atan(0.581431444331648)-π/2
    2×0.526654247796906-π/2
    1.05330849559381-1.57079632675     		φ = -0.51748783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51748783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.649869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4084 KachelY 4803 -0.00920388 -0.51748783 -0.527343 -29.649869
    Oben rechts KachelX + 1 4085 KachelY 4803 -0.00843689 -0.51748783 -0.483398 -29.649869
    Unten links KachelX 4084 KachelY + 1 4804 -0.00920388 -0.51815427 -0.527343 -29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 4085 KachelY + 1 4804 -0.00843689 -0.51815427 -0.483398 -29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51748783--0.51815427) × R
    0.000666440000000046 × 6371000     		dl = 4245.88924000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51748783--0.51815427) × R
    0.000666440000000046 × 6371000     		dr = 4245.88924000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00843689) × cos(-0.51748783) × R
    0.000766989999999999 × 0.869064687339429 × 6371000     		do = 4246.67876326006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00843689) × cos(-0.51815427) × R
    0.000766989999999999 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 4245.06680776536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51748783)-sin(-0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869064687339429-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.00843689--0.00920388)×0.000329879813402489×R²
    0.000766989999999999×0.000329879813402489×6371000²
    0.000766989999999999×0.000329879813402489×40589641000000     		ar = 18027506.241651m²