Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40836 / 10172
↖ ↑ ↗
← N 76.925585°
E 44.318848°		 ← 138.18 m → N 76.925585°
E 44.324341°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
N 76.924342°
E 44.318848°		 ← 138.20 m →
19 096 m²		 N 76.924342°
E 44.324341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623115539550781 y=0.155220031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623115539550781 × 216)
    floor (0.623115539550781 × 65536)
    floor (40836.5)     		tx = 40836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155220031738281 × 216)
    floor (0.155220031738281 × 65536)
    floor (10172.5)     		ty = 10172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40836 / 10172 ti = "16/40836/10172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40836/10172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40836 ÷ 216
    40836 ÷ 65536     		x = 0.62310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10172 ÷ 216
    10172 ÷ 65536     		y = 0.15521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    0.2462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77350981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15521240234375 × 2 - 1) × π
    0.6895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16636436762958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77350981} λ = 0.77350981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16636436762958))-π/2
    2×atan(8.72649995241285)-π/2
    2×1.4567005322116-π/2
    2.9134010644232-1.57079632675     		φ = 1.34260474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77350981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34260474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.925585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40836 KachelY 10172 0.77350981 1.34260474 44.318848 76.925585
    Oben rechts KachelX + 1 40837 KachelY 10172 0.77360569 1.34260474 44.324341 76.925585
    Unten links KachelX 40836 KachelY + 1 10173 0.77350981 1.34258305 44.318848 76.924342
    Unten rechts KachelX + 1 40837 KachelY + 1 10173 0.77360569 1.34258305 44.324341 76.924342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34260474-1.34258305) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dl = 138.186990000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34260474-1.34258305) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dr = 138.186990000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77350981-0.77360569) × cos(1.34260474) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226216360544837 × 6371000     		do = 138.184598639097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77350981-0.77360569) × cos(1.34258305) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226237488223494 × 6371000     		du = 138.197504512873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34260474)-sin(1.34258305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226216360544837-0.226237488223494)×R²
    abs(0.77360569-0.77350981)×2.11276786561132e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.11276786561132e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.11276786561132e-05×40589641000000     		ar = 19096.2054628781m²