Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40836 / 10164
↖ ↑ ↗
← N 76.935523°
E 44.318848°		 ← 138.08 m → N 76.935523°
E 44.324341°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 76.934281°
E 44.318848°		 ← 138.09 m →
19 064 m²		 N 76.934281°
E 44.324341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623115539550781 y=0.155097961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623115539550781 × 216)
    floor (0.623115539550781 × 65536)
    floor (40836.5)     		tx = 40836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155097961425781 × 216)
    floor (0.155097961425781 × 65536)
    floor (10164.5)     		ty = 10164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40836 / 10164 ti = "16/40836/10164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40836/10164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40836 ÷ 216
    40836 ÷ 65536     		x = 0.62310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10164 ÷ 216
    10164 ÷ 65536     		y = 0.15509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    0.2462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77350981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15509033203125 × 2 - 1) × π
    0.6898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1671313580235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77350981} λ = 0.77350981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1671313580235))-π/2
    2×atan(8.73319566149294)-π/2
    2×1.45678725270099-π/2
    2.91357450540197-1.57079632675     		φ = 1.34277818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77350981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34277818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.935523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40836 KachelY 10164 0.77350981 1.34277818 44.318848 76.935523
    Oben rechts KachelX + 1 40837 KachelY 10164 0.77360569 1.34277818 44.324341 76.935523
    Unten links KachelX 40836 KachelY + 1 10165 0.77350981 1.34275651 44.318848 76.934281
    Unten rechts KachelX + 1 40837 KachelY + 1 10165 0.77360569 1.34275651 44.324341 76.934281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34277818-1.34275651) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34277818-1.34275651) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77350981-0.77360569) × cos(1.34277818) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226047413214434 × 6371000     		do = 138.081396912278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77350981-0.77360569) × cos(1.34275651) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22606852226159 × 6371000     		du = 138.094291404975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34277818)-sin(1.34275651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226047413214434-0.22606852226159)×R²
    abs(0.77360569-0.77350981)×2.11090471563535e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.11090471563535e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.11090471563535e-05×40589641000000     		ar = 19064.3483874063m²