Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40835 / 10145
↖ ↑ ↗
← N 76.959094°
E 44.313355°		 ← 137.82 m → N 76.959094°
E 44.318848°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
N 76.957855°
E 44.313355°		 ← 137.84 m →
18 993 m²		 N 76.957855°
E 44.318848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623100280761719 y=0.154808044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623100280761719 × 216)
    floor (0.623100280761719 × 65536)
    floor (40835.5)     		tx = 40835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154808044433594 × 216)
    floor (0.154808044433594 × 65536)
    floor (10145.5)     		ty = 10145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40835 / 10145 ti = "16/40835/10145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40835/10145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40835 ÷ 216
    40835 ÷ 65536     		x = 0.623092651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10145 ÷ 216
    10145 ÷ 65536     		y = 0.154800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623092651367188 × 2 - 1) × π
    0.246185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77341394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154800415039062 × 2 - 1) × π
    0.690399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16895296020906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77341394} λ = 0.77341394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16895296020906))-π/2
    2×atan(8.7491185679945)-π/2
    2×1.45699295436951-π/2
    2.91398590873901-1.57079632675     		φ = 1.34318958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77341394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.313355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34318958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.959094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40835 KachelY 10145 0.77341394 1.34318958 44.313355 76.959094
    Oben rechts KachelX + 1 40836 KachelY 10145 0.77350981 1.34318958 44.318848 76.959094
    Unten links KachelX 40835 KachelY + 1 10146 0.77341394 1.34316795 44.313355 76.957855
    Unten rechts KachelX + 1 40836 KachelY + 1 10146 0.77350981 1.34316795 44.318848 76.957855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34318958-1.34316795) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34318958-1.34316795) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77341394-0.77350981) × cos(1.34318958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225646642650439 × 6371000     		do = 137.822209672445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77341394-0.77350981) × cos(1.34316795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225667714742951 × 6371000     		du = 137.83508024884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34318958)-sin(1.34316795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225646642650439-0.225667714742951)×R²
    abs(0.77350981-0.77341394)×2.10720925122032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10720925122032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10720925122032e-05×40589641000000     		ar = 18993.4392056357m²