Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40832 / 10139
↖ ↑ ↗
← N 76.966529°
E 44.296875°		 ← 137.74 m → N 76.966529°
E 44.302368°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
N 76.965290°
E 44.296875°		 ← 137.76 m →
18 983 m²		 N 76.965290°
E 44.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623054504394531 y=0.154716491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623054504394531 × 216)
    floor (0.623054504394531 × 65536)
    floor (40832.5)     		tx = 40832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154716491699219 × 216)
    floor (0.154716491699219 × 65536)
    floor (10139.5)     		ty = 10139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40832 / 10139 ti = "16/40832/10139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40832/10139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40832 ÷ 216
    40832 ÷ 65536     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10139 ÷ 216
    10139 ÷ 65536     		y = 0.154708862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154708862304688 × 2 - 1) × π
    0.690582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1695282030045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1695282030045))-π/2
    2×atan(8.75415288325516)-π/2
    2×1.4570578369895-π/2
    2.914115673979-1.57079632675     		φ = 1.34331935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34331935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.966529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40832 KachelY 10139 0.77312632 1.34331935 44.296875 76.966529
    Oben rechts KachelX + 1 40833 KachelY 10139 0.77322219 1.34331935 44.302368 76.966529
    Unten links KachelX 40832 KachelY + 1 10140 0.77312632 1.34329772 44.296875 76.965290
    Unten rechts KachelX + 1 40833 KachelY + 1 10140 0.77322219 1.34329772 44.302368 76.965290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34331935-1.34329772) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34331935-1.34329772) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77322219) × cos(1.34331935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225520217621118 × 6371000     		do = 137.744990810714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77322219) × cos(1.34329772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225541290346856 × 6371000     		du = 137.757861773875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34331935)-sin(1.34329772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225520217621118-0.225541290346856)×R²
    abs(0.77322219-0.77312632)×2.10727257375642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10727257375642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10727257375642e-05×40589641000000     		ar = 18982.7981077479m²