Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40830 / 57470
↖ ↑ ↗
← S 79.300600°
E 44.285889°		 ← 113.40 m → S 79.300600°
E 44.291382°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 79.301620°
E 44.285889°		 ← 113.39 m →
12 859 m²		 S 79.301620°
E 44.291382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623023986816406 y=0.876930236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623023986816406 × 216)
    floor (0.623023986816406 × 65536)
    floor (40830.5)     		tx = 40830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876930236816406 × 216)
    floor (0.876930236816406 × 65536)
    floor (57470.5)     		ty = 57470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40830 / 57470 ti = "16/40830/57470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40830/57470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40830 ÷ 216
    40830 ÷ 65536     		x = 0.623016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57470 ÷ 216
    57470 ÷ 65536     		y = 0.876922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623016357421875 × 2 - 1) × π
    0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.75384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36827458882925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77293457} λ = 0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36827458882925))-π/2
    2×atan(0.0936421581955958)-π/2
    2×0.0933698778536145-π/2
    0.186739755707229-1.57079632675     		φ = -1.38405657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38405657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.300600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40830 KachelY 57470 0.77293457 -1.38405657 44.285889 -79.300600
    Oben rechts KachelX + 1 40831 KachelY 57470 0.77303044 -1.38405657 44.291382 -79.300600
    Unten links KachelX 40830 KachelY + 1 57471 0.77293457 -1.38407437 44.285889 -79.301620
    Unten rechts KachelX + 1 40831 KachelY + 1 57471 0.77303044 -1.38407437 44.291382 -79.301620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38405657--1.38407437) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38405657--1.38407437) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77293457-0.77303044) × cos(-1.38405657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18565632430601 × 6371000     		do = 113.396612309262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77293457-0.77303044) × cos(-1.38407437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185638833734209 × 6371000     		du = 113.385929281916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38405657)-sin(-1.38407437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18565632430601-0.185638833734209)×R²
    abs(0.77303044-0.77293457)×1.74905718006435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74905718006435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74905718006435e-05×40589641000000     		ar = 12859.0009954721m²