Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4083 / 4309
↖ ↑ ↗
← N 78.722764°
W135.142822°		 ← 238.90 m → N 78.722764°
W135.131836°		 →
↑
238.91 m
↓
↑
238.91 m
↓
N 78.720615°
W135.142822°		 ← 238.94 m →
57 081 m²		 N 78.720615°
W135.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124618530273438 y=0.131515502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124618530273438 × 215)
    floor (0.124618530273438 × 32768)
    floor (4083.5)     		tx = 4083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131515502929688 × 215)
    floor (0.131515502929688 × 32768)
    floor (4309.5)     		ty = 4309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4083 / 4309 ti = "15/4083/4309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4083/4309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4083 ÷ 215
    4083 ÷ 32768     		x = 0.124603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4309 ÷ 215
    4309 ÷ 32768     		y = 0.131500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.75079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35868721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131500244140625 × 2 - 1) × π
    0.73699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31535225164871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35868721} λ = -2.35868721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31535225164871))-π/2
    2×atan(10.1284900677647)-π/2
    2×1.47238387144844-π/2
    2.94476774289688-1.57079632675     		φ = 1.37397142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35868721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37397142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.722764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4083 KachelY 4309 -2.35868721 1.37397142 -135.142822 78.722764
    Oben rechts KachelX + 1 4084 KachelY 4309 -2.35849546 1.37397142 -135.131836 78.722764
    Unten links KachelX 4083 KachelY + 1 4310 -2.35868721 1.37393392 -135.142822 78.720615
    Unten rechts KachelX + 1 4084 KachelY + 1 4310 -2.35849546 1.37393392 -135.131836 78.720615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37397142-1.37393392) × R
    3.74999999999126e-05 × 6371000     		dl = 238.912499999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37397142-1.37393392) × R
    3.74999999999126e-05 × 6371000     		dr = 238.912499999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35868721--2.35849546) × cos(1.37397142) × R
    0.000191749999999935 × 0.195556531878203 × 6371000     		do = 238.899534936208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35868721--2.35849546) × cos(1.37393392) × R
    0.000191749999999935 × 0.19559330770683 × 6371000     		du = 238.94446173191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37397142)-sin(1.37393392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195556531878203-0.19559330770683)×R²
    abs(-2.35849546--2.35868721)×3.67758286267117e-05×R²
    0.000191749999999935×3.67758286267117e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.67758286267117e-05×40589641000000     		ar = 57081.4519334282m²