Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40828 / 57604
↖ ↑ ↗
← S 79.436400°
E 44.274902°		 ← 111.99 m → S 79.436400°
E 44.280396°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 79.437407°
E 44.274902°		 ← 111.97 m →
12 542 m²		 S 79.437407°
E 44.280396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622993469238281 y=0.878974914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622993469238281 × 216)
    floor (0.622993469238281 × 65536)
    floor (40828.5)     		tx = 40828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878974914550781 × 216)
    floor (0.878974914550781 × 65536)
    floor (57604.5)     		ty = 57604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40828 / 57604 ti = "16/40828/57604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40828/57604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40828 ÷ 216
    40828 ÷ 65536     		x = 0.62298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57604 ÷ 216
    57604 ÷ 65536     		y = 0.87896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.7579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38112167792743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77274282} λ = 0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38112167792743))-π/2
    2×atan(0.0924468237703973)-π/2
    2×0.0921848030855678-π/2
    0.184369606171136-1.57079632675     		φ = -1.38642672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38642672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.436400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40828 KachelY 57604 0.77274282 -1.38642672 44.274902 -79.436400
    Oben rechts KachelX + 1 40829 KachelY 57604 0.77283870 -1.38642672 44.280396 -79.436400
    Unten links KachelX 40828 KachelY + 1 57605 0.77274282 -1.38644430 44.274902 -79.437407
    Unten rechts KachelX + 1 40829 KachelY + 1 57605 0.77283870 -1.38644430 44.280396 -79.437407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38642672--1.38644430) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38642672--1.38644430) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77274282-0.77283870) × cos(-1.38642672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183326860685865 × 6371000     		do = 111.985484173641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77274282-0.77283870) × cos(-1.38644430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183309578603131 × 6371000     		du = 111.974927387825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38642672)-sin(-1.38644430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183326860685865-0.183309578603131)×R²
    abs(0.77283870-0.77274282)×1.72820827336606e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72820827336606e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72820827336606e-05×40589641000000     		ar = 12542.0271645714m²