Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40827 / 57602
↖ ↑ ↗
← S 79.434385°
E 44.269409°		 ← 111.99 m → S 79.434385°
E 44.274902°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 79.435392°
E 44.269409°		 ← 111.98 m →
12 543 m²		 S 79.435392°
E 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622978210449219 y=0.878944396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622978210449219 × 216)
    floor (0.622978210449219 × 65536)
    floor (40827.5)     		tx = 40827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878944396972656 × 216)
    floor (0.878944396972656 × 65536)
    floor (57602.5)     		ty = 57602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40827 / 57602 ti = "16/40827/57602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40827/57602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40827 ÷ 216
    40827 ÷ 65536     		x = 0.622970581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57602 ÷ 216
    57602 ÷ 65536     		y = 0.878936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622970581054688 × 2 - 1) × π
    0.245941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77264695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.75787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38092993032895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77264695} λ = 0.77264695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38092993032895))-π/2
    2×atan(0.0924645519264538)-π/2
    2×0.0922023809847883-π/2
    0.184404761969577-1.57079632675     		φ = -1.38639156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77264695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.269409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38639156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.434385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40827 KachelY 57602 0.77264695 -1.38639156 44.269409 -79.434385
    Oben rechts KachelX + 1 40828 KachelY 57602 0.77274282 -1.38639156 44.274902 -79.434385
    Unten links KachelX 40827 KachelY + 1 57603 0.77264695 -1.38640914 44.269409 -79.435392
    Unten rechts KachelX + 1 40828 KachelY + 1 57603 0.77274282 -1.38640914 44.274902 -79.435392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38639156--1.38640914) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38639156--1.38640914) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77264695-0.77274282) × cos(-1.38639156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183361424681352 × 6371000     		do = 111.994915685143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77264695-0.77274282) × cos(-1.38640914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18334414271194 × 6371000     		du = 111.984360069585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38639156)-sin(-1.38640914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183361424681352-0.18334414271194)×R²
    abs(0.77274282-0.77264695)×1.72819694116422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72819694116422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72819694116422e-05×40589641000000     		ar = 12543.0835800176m²