Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40827 / 10135
↖ ↑ ↗
← N 76.971484°
E 44.269409°		 ← 137.69 m → N 76.971484°
E 44.274902°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
N 76.970245°
E 44.269409°		 ← 137.71 m →
18 967 m²		 N 76.970245°
E 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622978210449219 y=0.154655456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622978210449219 × 216)
    floor (0.622978210449219 × 65536)
    floor (40827.5)     		tx = 40827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154655456542969 × 216)
    floor (0.154655456542969 × 65536)
    floor (10135.5)     		ty = 10135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40827 / 10135 ti = "16/40827/10135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40827/10135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40827 ÷ 216
    40827 ÷ 65536     		x = 0.622970581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10135 ÷ 216
    10135 ÷ 65536     		y = 0.154647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622970581054688 × 2 - 1) × π
    0.245941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77264695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154647827148438 × 2 - 1) × π
    0.690704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16991169820146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77264695} λ = 0.77264695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16991169820146))-π/2
    2×atan(8.757510702652)-π/2
    2×1.45710107187299-π/2
    2.91420214374598-1.57079632675     		φ = 1.34340582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77264695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.269409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34340582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.971484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40827 KachelY 10135 0.77264695 1.34340582 44.269409 76.971484
    Oben rechts KachelX + 1 40828 KachelY 10135 0.77274282 1.34340582 44.274902 76.971484
    Unten links KachelX 40827 KachelY + 1 10136 0.77264695 1.34338420 44.269409 76.970245
    Unten rechts KachelX + 1 40828 KachelY + 1 10136 0.77274282 1.34338420 44.274902 76.970245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34340582-1.34338420) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34340582-1.34338420) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77264695-0.77274282) × cos(1.34340582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225435974376054 × 6371000     		do = 137.693536066924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77264695-0.77274282) × cos(1.34338420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225457037781002 × 6371000     		du = 137.706401337061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34340582)-sin(1.34338420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225435974376054-0.225457037781002)×R²
    abs(0.77274282-0.77264695)×2.10634049483127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10634049483127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10634049483127e-05×40589641000000     		ar = 18966.9341437688m²