Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40826 / 8540
↖ ↑ ↗
← N 78.806246°
E 44.263916°		 ← 118.58 m → N 78.806246°
E 44.269409°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
N 78.805180°
E 44.263916°		 ← 118.59 m →
14 060 m²		 N 78.805180°
E 44.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622962951660156 y=0.130317687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622962951660156 × 216)
    floor (0.622962951660156 × 65536)
    floor (40826.5)     		tx = 40826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130317687988281 × 216)
    floor (0.130317687988281 × 65536)
    floor (8540.5)     		ty = 8540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40826 / 8540 ti = "16/40826/8540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40826/8540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40826 ÷ 216
    40826 ÷ 65536     		x = 0.622955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8540 ÷ 216
    8540 ÷ 65536     		y = 0.13031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622955322265625 × 2 - 1) × π
    0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13031005859375 × 2 - 1) × π
    0.7393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32283040798944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77255107} λ = 0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32283040798944))-π/2
    2×atan(10.2045164141387)-π/2
    2×1.47311239767532-π/2
    2.94622479535063-1.57079632675     		φ = 1.37542847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37542847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.806246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40826 KachelY 8540 0.77255107 1.37542847 44.263916 78.806246
    Oben rechts KachelX + 1 40827 KachelY 8540 0.77264695 1.37542847 44.269409 78.806246
    Unten links KachelX 40826 KachelY + 1 8541 0.77255107 1.37540986 44.263916 78.805180
    Unten rechts KachelX + 1 40827 KachelY + 1 8541 0.77264695 1.37540986 44.269409 78.805180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37542847-1.37540986) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dl = 118.564309999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37542847-1.37540986) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dr = 118.564309999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77255107-0.77264695) × cos(1.37542847) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194127406895534 × 6371000     		do = 118.583013810759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77255107-0.77264695) × cos(1.37540986) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194145662831322 × 6371000     		du = 118.594165476154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37542847)-sin(1.37540986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194127406895534-0.194145662831322)×R²
    abs(0.77264695-0.77255107)×1.82559357878032e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82559357878032e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82559357878032e-05×40589641000000     		ar = 14060.3743052421m²