Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40826 / 57635
↖ ↑ ↗
← S 79.467573°
E 44.263916°		 ← 111.66 m → S 79.467573°
E 44.269409°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 79.468576°
E 44.263916°		 ← 111.65 m →
12 463 m²		 S 79.468576°
E 44.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622962951660156 y=0.879447937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622962951660156 × 216)
    floor (0.622962951660156 × 65536)
    floor (40826.5)     		tx = 40826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879447937011719 × 216)
    floor (0.879447937011719 × 65536)
    floor (57635.5)     		ty = 57635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40826 / 57635 ti = "16/40826/57635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40826/57635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40826 ÷ 216
    40826 ÷ 65536     		x = 0.622955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57635 ÷ 216
    57635 ÷ 65536     		y = 0.879440307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622955322265625 × 2 - 1) × π
    0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879440307617188 × 2 - 1) × π
    -0.758880615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38409376570387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77255107} λ = 0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38409376570387))-π/2
    2×atan(0.0921724715968221)-π/2
    2×0.0919127689359595-π/2
    0.183825537871919-1.57079632675     		φ = -1.38697079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38697079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.467573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40826 KachelY 57635 0.77255107 -1.38697079 44.263916 -79.467573
    Oben rechts KachelX + 1 40827 KachelY 57635 0.77264695 -1.38697079 44.269409 -79.467573
    Unten links KachelX 40826 KachelY + 1 57636 0.77255107 -1.38698831 44.263916 -79.468576
    Unten rechts KachelX + 1 40827 KachelY + 1 57636 0.77264695 -1.38698831 44.269409 -79.468576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38697079--1.38698831) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38697079--1.38698831) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77255107-0.77264695) × cos(-1.38697079) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.182791984469527 × 6371000     		do = 111.658754245403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77255107-0.77264695) × cos(-1.38698831) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.182774759625247 × 6371000     		du = 111.648232423782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38697079)-sin(-1.38698831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182791984469527-0.182774759625247)×R²
    abs(0.77264695-0.77255107)×1.72248442797673e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72248442797673e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72248442797673e-05×40589641000000     		ar = 12462.7539943654m²