Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40826 / 10153
↖ ↑ ↗
← N 76.949174°
E 44.263916°		 ← 137.94 m → N 76.949174°
E 44.269409°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
N 76.947934°
E 44.263916°		 ← 137.95 m →
19 027 m²		 N 76.947934°
E 44.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622962951660156 y=0.154930114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622962951660156 × 216)
    floor (0.622962951660156 × 65536)
    floor (40826.5)     		tx = 40826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154930114746094 × 216)
    floor (0.154930114746094 × 65536)
    floor (10153.5)     		ty = 10153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40826 / 10153 ti = "16/40826/10153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40826/10153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40826 ÷ 216
    40826 ÷ 65536     		x = 0.622955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10153 ÷ 216
    10153 ÷ 65536     		y = 0.154922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622955322265625 × 2 - 1) × π
    0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154922485351562 × 2 - 1) × π
    0.690155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16818596981514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77255107} λ = 0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16818596981514))-π/2
    2×atan(8.74241065088041)-π/2
    2×1.4569063876293-π/2
    2.91381277525859-1.57079632675     		φ = 1.34301645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34301645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.949174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40826 KachelY 10153 0.77255107 1.34301645 44.263916 76.949174
    Oben rechts KachelX + 1 40827 KachelY 10153 0.77264695 1.34301645 44.269409 76.949174
    Unten links KachelX 40826 KachelY + 1 10154 0.77255107 1.34299480 44.263916 76.947934
    Unten rechts KachelX + 1 40827 KachelY + 1 10154 0.77264695 1.34299480 44.269409 76.947934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34301645-1.34299480) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dl = 137.932149999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34301645-1.34299480) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dr = 137.932149999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77255107-0.77264695) × cos(1.34301645) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225815304109052 × 6371000     		do = 137.939612721733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77255107-0.77264695) × cos(1.34299480) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225836394839511 × 6371000     		du = 137.952496025649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34301645)-sin(1.34299480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225815304109052-0.225836394839511)×R²
    abs(0.77264695-0.77255107)×2.10907304597774e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.10907304597774e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.10907304597774e-05×40589641000000     		ar = 19027.1958642935m²