Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40825 / 10136
↖ ↑ ↗
← N 76.970245°
E 44.258423°		 ← 137.71 m → N 76.970245°
E 44.263916°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
N 76.969007°
E 44.258423°		 ← 137.72 m →
18 960 m²		 N 76.969007°
E 44.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622947692871094 y=0.154670715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622947692871094 × 216)
    floor (0.622947692871094 × 65536)
    floor (40825.5)     		tx = 40825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154670715332031 × 216)
    floor (0.154670715332031 × 65536)
    floor (10136.5)     		ty = 10136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40825 / 10136 ti = "16/40825/10136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40825/10136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40825 ÷ 216
    40825 ÷ 65536     		x = 0.622940063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10136 ÷ 216
    10136 ÷ 65536     		y = 0.1546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622940063476562 × 2 - 1) × π
    0.245880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77245520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1546630859375 × 2 - 1) × π
    0.690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16981582440222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77245520} λ = 0.77245520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16981582440222))-π/2
    2×atan(8.75667112707635)-π/2
    2×1.45709026466645-π/2
    2.9141805293329-1.57079632675     		φ = 1.34338420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77245520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.258423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34338420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.970245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40825 KachelY 10136 0.77245520 1.34338420 44.258423 76.970245
    Oben rechts KachelX + 1 40826 KachelY 10136 0.77255107 1.34338420 44.263916 76.970245
    Unten links KachelX 40825 KachelY + 1 10137 0.77245520 1.34336259 44.258423 76.969007
    Unten rechts KachelX + 1 40826 KachelY + 1 10137 0.77255107 1.34336259 44.263916 76.969007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34338420-1.34336259) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dl = 137.677310000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34338420-1.34336259) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dr = 137.677310000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77245520-0.77255107) × cos(1.34338420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225457037781002 × 6371000     		do = 137.706401337061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77245520-0.77255107) × cos(1.34336259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225478091338084 × 6371000     		du = 137.719260592242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34338420)-sin(1.34336259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225457037781002-0.225478091338084)×R²
    abs(0.77255107-0.77245520)×2.10535570819015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10535570819015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10535570819015e-05×40589641000000     		ar = 18959.9321204217m²