Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40824 / 57610
↖ ↑ ↗
← S 79.442440°
E 44.252930°		 ← 111.91 m → S 79.442440°
E 44.258423°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 79.443446°
E 44.252930°		 ← 111.90 m →
12 519 m²		 S 79.443446°
E 44.258423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622932434082031 y=0.879066467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622932434082031 × 216)
    floor (0.622932434082031 × 65536)
    floor (40824.5)     		tx = 40824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879066467285156 × 216)
    floor (0.879066467285156 × 65536)
    floor (57610.5)     		ty = 57610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40824 / 57610 ti = "16/40824/57610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40824/57610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40824 ÷ 216
    40824 ÷ 65536     		x = 0.6229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57610 ÷ 216
    57610 ÷ 65536     		y = 0.879058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.75811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38169692072287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77235933} λ = 0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38169692072287))-π/2
    2×atan(0.0923936596936541)-π/2
    2×0.0921320892640005-π/2
    0.184264178528001-1.57079632675     		φ = -1.38653215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38653215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.442440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40824 KachelY 57610 0.77235933 -1.38653215 44.252930 -79.442440
    Oben rechts KachelX + 1 40825 KachelY 57610 0.77245520 -1.38653215 44.258423 -79.442440
    Unten links KachelX 40824 KachelY + 1 57611 0.77235933 -1.38654971 44.252930 -79.443446
    Unten rechts KachelX + 1 40825 KachelY + 1 57611 0.77245520 -1.38654971 44.258423 -79.443446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38653215--1.38654971) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38653215--1.38654971) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77235933-0.77245520) × cos(-1.38653215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183223216493341 × 6371000     		do = 111.910499814193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77235933-0.77245520) × cos(-1.38654971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183205953732422 × 6371000     		du = 111.899955930947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38653215)-sin(-1.38654971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183223216493341-0.183205953732422)×R²
    abs(0.77245520-0.77235933)×1.72627609192622e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72627609192622e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72627609192622e-05×40589641000000     		ar = 12519.370511429m²