Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40824 / 10168
↖ ↑ ↗
← N 76.930554°
E 44.252930°		 ← 138.12 m → N 76.930554°
E 44.258423°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
N 76.929312°
E 44.252930°		 ← 138.13 m →
19 078 m²		 N 76.929312°
E 44.258423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622932434082031 y=0.155158996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622932434082031 × 216)
    floor (0.622932434082031 × 65536)
    floor (40824.5)     		tx = 40824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155158996582031 × 216)
    floor (0.155158996582031 × 65536)
    floor (10168.5)     		ty = 10168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40824 / 10168 ti = "16/40824/10168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40824/10168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40824 ÷ 216
    40824 ÷ 65536     		x = 0.6229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10168 ÷ 216
    10168 ÷ 65536     		y = 0.1551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1551513671875 × 2 - 1) × π
    0.689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77235933} λ = 0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16674786282654))-π/2
    2×atan(8.72984716500984)-π/2
    2×1.45674390055515-π/2
    2.9134878011103-1.57079632675     		φ = 1.34269147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34269147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.930554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40824 KachelY 10168 0.77235933 1.34269147 44.252930 76.930554
    Oben rechts KachelX + 1 40825 KachelY 10168 0.77245520 1.34269147 44.258423 76.930554
    Unten links KachelX 40824 KachelY + 1 10169 0.77235933 1.34266979 44.252930 76.929312
    Unten rechts KachelX + 1 40825 KachelY + 1 10169 0.77245520 1.34266979 44.258423 76.929312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34269147-1.34266979) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34269147-1.34266979) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77235933-0.77245520) × cos(1.34269147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226131877988965 × 6371000     		do = 138.118585482789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77235933-0.77245520) × cos(1.34266979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226152996352196 × 6371000     		du = 138.131484320773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34269147)-sin(1.34266979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226131877988965-0.226152996352196)×R²
    abs(0.77245520-0.77235933)×2.11183632308765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11183632308765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11183632308765e-05×40589641000000     		ar = 19078.2828717144m²