Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40823 / 8538
↖ ↑ ↗
← N 78.808379°
E 44.247436°		 ← 118.56 m → N 78.808379°
E 44.252930°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
N 78.807313°
E 44.247436°		 ← 118.57 m →
14 058 m²		 N 78.807313°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622917175292969 y=0.130287170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622917175292969 × 216)
    floor (0.622917175292969 × 65536)
    floor (40823.5)     		tx = 40823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130287170410156 × 216)
    floor (0.130287170410156 × 65536)
    floor (8538.5)     		ty = 8538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40823 / 8538 ti = "16/40823/8538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40823/8538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40823 ÷ 216
    40823 ÷ 65536     		x = 0.622909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8538 ÷ 216
    8538 ÷ 65536     		y = 0.130279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130279541015625 × 2 - 1) × π
    0.73944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32302215558792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77226345} λ = 0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32302215558792))-π/2
    2×atan(10.2064732932622)-π/2
    2×1.47313100765716-π/2
    2.94626201531432-1.57079632675     		φ = 1.37546569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37546569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.808379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40823 KachelY 8538 0.77226345 1.37546569 44.247436 78.808379
    Oben rechts KachelX + 1 40824 KachelY 8538 0.77235933 1.37546569 44.252930 78.808379
    Unten links KachelX 40823 KachelY + 1 8539 0.77226345 1.37544708 44.247436 78.807313
    Unten rechts KachelX + 1 40824 KachelY + 1 8539 0.77235933 1.37544708 44.252930 78.807313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37546569-1.37544708) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dl = 118.564309999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37546569-1.37544708) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dr = 118.564309999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(1.37546569) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194090894822267 × 6371000     		do = 118.560710356766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(1.37544708) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194109150892514 × 6371000     		du = 118.571862104295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37546569)-sin(1.37544708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194090894822267-0.194109150892514)×R²
    abs(0.77235933-0.77226345)×1.82560702466084e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82560702466084e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82560702466084e-05×40589641000000     		ar = 14057.7299163489m²