Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40823 / 57624
↖ ↑ ↗
← S 79.456521°
E 44.247436°		 ← 111.77 m → S 79.456521°
E 44.252930°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 79.457527°
E 44.247436°		 ← 111.76 m →
12 497 m²		 S 79.457527°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622917175292969 y=0.879280090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622917175292969 × 216)
    floor (0.622917175292969 × 65536)
    floor (40823.5)     		tx = 40823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879280090332031 × 216)
    floor (0.879280090332031 × 65536)
    floor (57624.5)     		ty = 57624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40823 / 57624 ti = "16/40823/57624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40823/57624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40823 ÷ 216
    40823 ÷ 65536     		x = 0.622909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57624 ÷ 216
    57624 ÷ 65536     		y = 0.8792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.38303915391223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77226345} λ = 0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38303915391223))-π/2
    2×atan(0.0922697290476459)-π/2
    2×0.0920092062135721-π/2
    0.184018412427144-1.57079632675     		φ = -1.38677791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38677791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.456521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40823 KachelY 57624 0.77226345 -1.38677791 44.247436 -79.456521
    Oben rechts KachelX + 1 40824 KachelY 57624 0.77235933 -1.38677791 44.252930 -79.456521
    Unten links KachelX 40823 KachelY + 1 57625 0.77226345 -1.38679546 44.247436 -79.457527
    Unten rechts KachelX + 1 40824 KachelY + 1 57625 0.77235933 -1.38679546 44.252930 -79.457527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38677791--1.38679546) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dl = 111.811050000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38677791--1.38679546) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dr = 111.811050000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(-1.38677791) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.182981611350923 × 6371000     		do = 111.774588106552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(-1.38679546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.182964357631049 × 6371000     		du = 111.764048646232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38677791)-sin(-1.38679546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182981611350923-0.182964357631049)×R²
    abs(0.77235933-0.77226345)×1.72537198736278e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72537198736278e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72537198736278e-05×40589641000000     		ar = 12497.0448456588m²