Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40823 / 57614
↖ ↑ ↗
← S 79.446465°
E 44.247436°		 ← 111.88 m → S 79.446465°
E 44.252930°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 79.447471°
E 44.247436°		 ← 111.87 m →
12 516 m²		 S 79.447471°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622917175292969 y=0.879127502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622917175292969 × 216)
    floor (0.622917175292969 × 65536)
    floor (40823.5)     		tx = 40823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879127502441406 × 216)
    floor (0.879127502441406 × 65536)
    floor (57614.5)     		ty = 57614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40823 / 57614 ti = "16/40823/57614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40823/57614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40823 ÷ 216
    40823 ÷ 65536     		x = 0.622909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57614 ÷ 216
    57614 ÷ 65536     		y = 0.879119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.75823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38208041591983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77226345} λ = 0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38208041591983))-π/2
    2×atan(0.0923582339621651)-π/2
    2×0.0920969632736746-π/2
    0.184193926547349-1.57079632675     		φ = -1.38660240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38660240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.446465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40823 KachelY 57614 0.77226345 -1.38660240 44.247436 -79.446465
    Oben rechts KachelX + 1 40824 KachelY 57614 0.77235933 -1.38660240 44.252930 -79.446465
    Unten links KachelX 40823 KachelY + 1 57615 0.77226345 -1.38661996 44.247436 -79.447471
    Unten rechts KachelX + 1 40824 KachelY + 1 57615 0.77235933 -1.38661996 44.252930 -79.447471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38660240--1.38661996) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38660240--1.38661996) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(-1.38660240) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18315415527989 × 6371000     		do = 111.879986820927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(-1.38661996) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183136892293001 × 6371000     		du = 111.869441699836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38660240)-sin(-1.38661996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18315415527989-0.183136892293001)×R²
    abs(0.77235933-0.77226345)×1.72629868885887e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72629868885887e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72629868885887e-05×40589641000000     		ar = 12515.9568082539m²