Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40823 / 10138
↖ ↑ ↗
← N 76.967768°
E 44.247436°		 ← 137.75 m → N 76.967768°
E 44.252930°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
N 76.966529°
E 44.247436°		 ← 137.76 m →
18 974 m²		 N 76.966529°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622917175292969 y=0.154701232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622917175292969 × 216)
    floor (0.622917175292969 × 65536)
    floor (40823.5)     		tx = 40823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154701232910156 × 216)
    floor (0.154701232910156 × 65536)
    floor (10138.5)     		ty = 10138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40823 / 10138 ti = "16/40823/10138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40823/10138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40823 ÷ 216
    40823 ÷ 65536     		x = 0.622909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10138 ÷ 216
    10138 ÷ 65536     		y = 0.154693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    0.245819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77226345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154693603515625 × 2 - 1) × π
    0.69061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16962407680374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77226345} λ = 0.77226345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16962407680374))-π/2
    2×atan(8.75499221738564)-π/2
    2×1.4570686472248-π/2
    2.91413729444959-1.57079632675     		φ = 1.34334097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77226345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.247436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34334097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.967768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40823 KachelY 10138 0.77226345 1.34334097 44.247436 76.967768
    Oben rechts KachelX + 1 40824 KachelY 10138 0.77235933 1.34334097 44.252930 76.967768
    Unten links KachelX 40823 KachelY + 1 10139 0.77226345 1.34331935 44.247436 76.966529
    Unten rechts KachelX + 1 40824 KachelY + 1 10139 0.77235933 1.34331935 44.252930 76.966529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34334097-1.34331935) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34334097-1.34331935) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(1.34334097) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225499154532303 × 6371000     		do = 137.746492284875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77226345-0.77235933) × cos(1.34331935) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225520217621118 × 6371000     		du = 137.759358703851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34334097)-sin(1.34331935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225499154532303-0.225520217621118)×R²
    abs(0.77235933-0.77226345)×2.1063088815193e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1063088815193e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1063088815193e-05×40589641000000     		ar = 18974.228466418m²