Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40822 / 10140
↖ ↑ ↗
← N 76.965290°
E 44.241943°		 ← 137.76 m → N 76.965290°
E 44.247436°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
N 76.964051°
E 44.241943°		 ← 137.77 m →
18 976 m²		 N 76.964051°
E 44.247436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622901916503906 y=0.154731750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622901916503906 × 216)
    floor (0.622901916503906 × 65536)
    floor (40822.5)     		tx = 40822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154731750488281 × 216)
    floor (0.154731750488281 × 65536)
    floor (10140.5)     		ty = 10140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40822 / 10140 ti = "16/40822/10140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40822/10140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40822 ÷ 216
    40822 ÷ 65536     		x = 0.622894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10140 ÷ 216
    10140 ÷ 65536     		y = 0.15472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622894287109375 × 2 - 1) × π
    0.24578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77216758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15472412109375 × 2 - 1) × π
    0.6905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16943232920526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77216758} λ = 0.77216758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16943232920526))-π/2
    2×atan(8.75331362959098)-π/2
    2×1.45704702574444-π/2
    2.91409405148887-1.57079632675     		φ = 1.34329772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77216758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.241943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34329772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.965290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40822 KachelY 10140 0.77216758 1.34329772 44.241943 76.965290
    Oben rechts KachelX + 1 40823 KachelY 10140 0.77226345 1.34329772 44.247436 76.965290
    Unten links KachelX 40822 KachelY + 1 10141 0.77216758 1.34327610 44.241943 76.964051
    Unten rechts KachelX + 1 40823 KachelY + 1 10141 0.77226345 1.34327610 44.247436 76.964051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34329772-1.34327610) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34329772-1.34327610) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77216758-0.77226345) × cos(1.34329772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225541290346856 × 6371000     		do = 137.757861773875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77216758-0.77226345) × cos(1.34327610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225562353224785 × 6371000     		du = 137.770726722116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34329772)-sin(1.34327610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225541290346856-0.225562353224785)×R²
    abs(0.77226345-0.77216758)×2.10628779292454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10628779292454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10628779292454e-05×40589641000000     		ar = 18975.7944103067m²