Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40821 / 8662
↖ ↑ ↗
← N 78.675399°
E 44.236450°		 ← 119.94 m → N 78.675399°
E 44.241943°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
N 78.674321°
E 44.236450°		 ← 119.95 m →
14 382 m²		 N 78.674321°
E 44.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622886657714844 y=0.132179260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622886657714844 × 216)
    floor (0.622886657714844 × 65536)
    floor (40821.5)     		tx = 40821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132179260253906 × 216)
    floor (0.132179260253906 × 65536)
    floor (8662.5)     		ty = 8662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40821 / 8662 ti = "16/40821/8662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40821/8662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40821 ÷ 216
    40821 ÷ 65536     		x = 0.622879028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8662 ÷ 216
    8662 ÷ 65536     		y = 0.132171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622879028320312 × 2 - 1) × π
    0.245758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77207171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132171630859375 × 2 - 1) × π
    0.73565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31113380448215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77207171} λ = 0.77207171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31113380448215))-π/2
    2×atan(10.0858535606904)-π/2
    2×1.47197054466161-π/2
    2.94394108932322-1.57079632675     		φ = 1.37314476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77207171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.236450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37314476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.675399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40821 KachelY 8662 0.77207171 1.37314476 44.236450 78.675399
    Oben rechts KachelX + 1 40822 KachelY 8662 0.77216758 1.37314476 44.241943 78.675399
    Unten links KachelX 40821 KachelY + 1 8663 0.77207171 1.37312594 44.236450 78.674321
    Unten rechts KachelX + 1 40822 KachelY + 1 8663 0.77216758 1.37312594 44.241943 78.674321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37314476-1.37312594) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37314476-1.37312594) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77207171-0.77216758) × cos(1.37314476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196367164171885 × 6371000     		do = 119.938662305767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77207171-0.77216758) × cos(1.37312594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196385617719922 × 6371000     		du = 119.949933507221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37314476)-sin(1.37312594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196367164171885-0.196385617719922)×R²
    abs(0.77216758-0.77207171)×1.84535480372838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84535480372838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84535480372838e-05×40589641000000     		ar = 14381.587595518m²