Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40821 / 10133
↖ ↑ ↗
← N 76.973960°
E 44.236450°		 ← 137.67 m → N 76.973960°
E 44.241943°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
N 76.972722°
E 44.236450°		 ← 137.68 m →
18 955 m²		 N 76.972722°
E 44.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622886657714844 y=0.154624938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622886657714844 × 216)
    floor (0.622886657714844 × 65536)
    floor (40821.5)     		tx = 40821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154624938964844 × 216)
    floor (0.154624938964844 × 65536)
    floor (10133.5)     		ty = 10133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40821 / 10133 ti = "16/40821/10133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40821/10133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40821 ÷ 216
    40821 ÷ 65536     		x = 0.622879028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10133 ÷ 216
    10133 ÷ 65536     		y = 0.154617309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622879028320312 × 2 - 1) × π
    0.245758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77207171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154617309570312 × 2 - 1) × π
    0.690765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17010344579994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77207171} λ = 0.77207171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17010344579994))-π/2
    2×atan(8.75919009530251)-π/2
    2×1.45712268325792-π/2
    2.91424536651585-1.57079632675     		φ = 1.34344904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77207171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.236450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34344904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.973960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40821 KachelY 10133 0.77207171 1.34344904 44.236450 76.973960
    Oben rechts KachelX + 1 40822 KachelY 10133 0.77216758 1.34344904 44.241943 76.973960
    Unten links KachelX 40821 KachelY + 1 10134 0.77207171 1.34342743 44.236450 76.972722
    Unten rechts KachelX + 1 40822 KachelY + 1 10134 0.77216758 1.34342743 44.241943 76.972722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34344904-1.34342743) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dl = 137.677310000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34344904-1.34342743) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dr = 137.677310000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77207171-0.77216758) × cos(1.34344904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225393866735399 × 6371000     		do = 137.667817234989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77207171-0.77216758) × cos(1.34342743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22541492060836 × 6371000     		du = 137.680676683104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34344904)-sin(1.34342743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225393866735399-0.22541492060836)×R²
    abs(0.77216758-0.77207171)×2.10538729610577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10538729610577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10538729610577e-05×40589641000000     		ar = 18954.6199786705m²