Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40820 / 9852
↖ ↑ ↗
← N 77.317345°
E 44.230957°		 ← 134.11 m → N 77.317345°
E 44.236450°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
N 77.316139°
E 44.230957°		 ← 134.13 m →
17 987 m²		 N 77.316139°
E 44.236450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622871398925781 y=0.150337219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622871398925781 × 216)
    floor (0.622871398925781 × 65536)
    floor (40820.5)     		tx = 40820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150337219238281 × 216)
    floor (0.150337219238281 × 65536)
    floor (9852.5)     		ty = 9852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40820 / 9852 ti = "16/40820/9852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40820/9852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40820 ÷ 216
    40820 ÷ 65536     		x = 0.62286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9852 ÷ 216
    9852 ÷ 65536     		y = 0.15032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15032958984375 × 2 - 1) × π
    0.6993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19704398338641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77197583} λ = 0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19704398338641))-π/2
    2×atan(8.9983748012067)-π/2
    2×1.46011928258758-π/2
    2.92023856517516-1.57079632675     		φ = 1.34944224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34944224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.317345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40820 KachelY 9852 0.77197583 1.34944224 44.230957 77.317345
    Oben rechts KachelX + 1 40821 KachelY 9852 0.77207171 1.34944224 44.236450 77.317345
    Unten links KachelX 40820 KachelY + 1 9853 0.77197583 1.34942119 44.230957 77.316139
    Unten rechts KachelX + 1 40821 KachelY + 1 9853 0.77207171 1.34942119 44.236450 77.316139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34944224-1.34942119) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dl = 134.109549999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34944224-1.34942119) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dr = 134.109549999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77197583-0.77207171) × cos(1.34944224) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219550872458811 × 6371000     		do = 134.112975376668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77197583-0.77207171) × cos(1.34942119) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219571408812331 × 6371000     		du = 134.125520038609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34944224)-sin(1.34942119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219550872458811-0.219571408812331)×R²
    abs(0.77207171-0.77197583)×2.05363535200342e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.05363535200342e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.05363535200342e-05×40589641000000     		ar = 17986.6719570693m²