Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40819 / 9855
↖ ↑ ↗
← N 77.313726°
E 44.225464°		 ← 134.14 m → N 77.313726°
E 44.230957°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
N 77.312520°
E 44.225464°		 ← 134.15 m →
17 990 m²		 N 77.312520°
E 44.230957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622856140136719 y=0.150382995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622856140136719 × 216)
    floor (0.622856140136719 × 65536)
    floor (40819.5)     		tx = 40819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150382995605469 × 216)
    floor (0.150382995605469 × 65536)
    floor (9855.5)     		ty = 9855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40819 / 9855 ti = "16/40819/9855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40819/9855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40819 ÷ 216
    40819 ÷ 65536     		x = 0.622848510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9855 ÷ 216
    9855 ÷ 65536     		y = 0.150375366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622848510742188 × 2 - 1) × π
    0.245697021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77187996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150375366210938 × 2 - 1) × π
    0.699249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19675636198869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77187996} λ = 0.77187996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19675636198869))-π/2
    2×atan(8.99578704823357)-π/2
    2×1.4600877043927-π/2
    2.9201754087854-1.57079632675     		φ = 1.34937908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77187996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.225464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34937908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.313726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40819 KachelY 9855 0.77187996 1.34937908 44.225464 77.313726
    Oben rechts KachelX + 1 40820 KachelY 9855 0.77197583 1.34937908 44.230957 77.313726
    Unten links KachelX 40819 KachelY + 1 9856 0.77187996 1.34935803 44.225464 77.312520
    Unten rechts KachelX + 1 40820 KachelY + 1 9856 0.77197583 1.34935803 44.230957 77.312520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34937908-1.34935803) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dl = 134.109549999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34937908-1.34935803) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dr = 134.109549999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77187996-0.77197583) × cos(1.34937908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219612490983355 × 6371000     		do = 134.136623631866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77187996-0.77197583) × cos(1.34935803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219633027044924 × 6371000     		du = 134.149166807116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34937908)-sin(1.34935803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219612490983355-0.219633027044924)×R²
    abs(0.77197583-0.77187996)×2.0536061568599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0536061568599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0536061568599e-05×40589641000000     		ar = 17989.843314357m²