Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40818 / 8665
↖ ↑ ↗
← N 78.672163°
E 44.219970°		 ← 119.99 m → N 78.672163°
E 44.225464°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 78.671084°
E 44.219970°		 ← 120 m →
14 402 m²		 N 78.671084°
E 44.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622840881347656 y=0.132225036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622840881347656 × 216)
    floor (0.622840881347656 × 65536)
    floor (40818.5)     		tx = 40818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132225036621094 × 216)
    floor (0.132225036621094 × 65536)
    floor (8665.5)     		ty = 8665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40818 / 8665 ti = "16/40818/8665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40818/8665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40818 ÷ 216
    40818 ÷ 65536     		x = 0.622833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8665 ÷ 216
    8665 ÷ 65536     		y = 0.132217407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622833251953125 × 2 - 1) × π
    0.24566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77178408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132217407226562 × 2 - 1) × π
    0.735565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31084618308443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77178408} λ = 0.77178408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31084618308443))-π/2
    2×atan(10.0829530705336)-π/2
    2×1.47194230098039-π/2
    2.94388460196078-1.57079632675     		φ = 1.37308828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77178408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.219970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37308828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.672163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40818 KachelY 8665 0.77178408 1.37308828 44.219970 78.672163
    Oben rechts KachelX + 1 40819 KachelY 8665 0.77187996 1.37308828 44.225464 78.672163
    Unten links KachelX 40818 KachelY + 1 8666 0.77178408 1.37306944 44.219970 78.671084
    Unten rechts KachelX + 1 40819 KachelY + 1 8666 0.77187996 1.37306944 44.225464 78.671084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37308828-1.37306944) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dl = 120.029639999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37308828-1.37306944) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dr = 120.029639999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77178408-0.77187996) × cos(1.37308828) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196422544217702 × 6371000     		do = 119.985001840809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77178408-0.77187996) × cos(1.37306944) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196441017167284 × 6371000     		du = 119.996286069401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37308828)-sin(1.37306944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196422544217702-0.196441017167284)×R²
    abs(0.77187996-0.77178408)×1.84729495816272e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84729495816272e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84729495816272e-05×40589641000000     		ar = 14402.4337975713m²