Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40818 / 8663
↖ ↑ ↗
← N 78.674321°
E 44.219970°		 ← 119.96 m → N 78.674321°
E 44.225464°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
N 78.673242°
E 44.219970°		 ← 119.97 m →
14 392 m²		 N 78.673242°
E 44.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622840881347656 y=0.132194519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622840881347656 × 216)
    floor (0.622840881347656 × 65536)
    floor (40818.5)     		tx = 40818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132194519042969 × 216)
    floor (0.132194519042969 × 65536)
    floor (8663.5)     		ty = 8663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40818 / 8663 ti = "16/40818/8663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40818/8663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40818 ÷ 216
    40818 ÷ 65536     		x = 0.622833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8663 ÷ 216
    8663 ÷ 65536     		y = 0.132186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622833251953125 × 2 - 1) × π
    0.24566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77178408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132186889648438 × 2 - 1) × π
    0.735626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31103793068291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77178408} λ = 0.77178408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31103793068291))-π/2
    2×atan(10.084886637943)-π/2
    2×1.47196113098622-π/2
    2.94392226197244-1.57079632675     		φ = 1.37312594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77178408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.219970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37312594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.674321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40818 KachelY 8663 0.77178408 1.37312594 44.219970 78.674321
    Oben rechts KachelX + 1 40819 KachelY 8663 0.77187996 1.37312594 44.225464 78.674321
    Unten links KachelX 40818 KachelY + 1 8664 0.77178408 1.37310711 44.219970 78.673242
    Unten rechts KachelX + 1 40819 KachelY + 1 8664 0.77187996 1.37310711 44.225464 78.673242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37312594-1.37310711) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dl = 119.965929999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37312594-1.37310711) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dr = 119.965929999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77178408-0.77187996) × cos(1.37312594) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196385617719922 × 6371000     		do = 119.962445234989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77178408-0.77187996) × cos(1.37310711) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196404081003632 × 6371000     		du = 119.973723559169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37312594)-sin(1.37310711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196385617719922-0.196404081003632)×R²
    abs(0.77187996-0.77178408)×1.84632837093857e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84632837093857e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84632837093857e-05×40589641000000     		ar = 14392.0828157123m²