Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40818 / 10146
↖ ↑ ↗
← N 76.957855°
E 44.219970°		 ← 137.85 m → N 76.957855°
E 44.225464°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
N 76.956615°
E 44.219970°		 ← 137.86 m →
19 006 m²		 N 76.956615°
E 44.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622840881347656 y=0.154823303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622840881347656 × 216)
    floor (0.622840881347656 × 65536)
    floor (40818.5)     		tx = 40818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154823303222656 × 216)
    floor (0.154823303222656 × 65536)
    floor (10146.5)     		ty = 10146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40818 / 10146 ti = "16/40818/10146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40818/10146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40818 ÷ 216
    40818 ÷ 65536     		x = 0.622833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10146 ÷ 216
    10146 ÷ 65536     		y = 0.154815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622833251953125 × 2 - 1) × π
    0.24566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77178408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154815673828125 × 2 - 1) × π
    0.69036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16885708640982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77178408} λ = 0.77178408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16885708640982))-π/2
    2×atan(8.74827979696611)-π/2
    2×1.45698213706397-π/2
    2.91396427412794-1.57079632675     		φ = 1.34316795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77178408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.219970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34316795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.957855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40818 KachelY 10146 0.77178408 1.34316795 44.219970 76.957855
    Oben rechts KachelX + 1 40819 KachelY 10146 0.77187996 1.34316795 44.225464 76.957855
    Unten links KachelX 40818 KachelY + 1 10147 0.77178408 1.34314631 44.219970 76.956615
    Unten rechts KachelX + 1 40819 KachelY + 1 10147 0.77187996 1.34314631 44.225464 76.956615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34316795-1.34314631) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dl = 137.868439999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34316795-1.34314631) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dr = 137.868439999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77178408-0.77187996) × cos(1.34316795) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225667714742951 × 6371000     		do = 137.849457539018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77178408-0.77187996) × cos(1.34314631) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225688796471877 × 6371000     		du = 137.862335344334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34316795)-sin(1.34314631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225667714742951-0.225688796471877)×R²
    abs(0.77187996-0.77178408)×2.10817289264253e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.10817289264253e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.10817289264253e-05×40589641000000     		ar = 19005.977388017m²