Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40817 / 8625
↖ ↑ ↗
← N 78.715241°
E 44.214478°		 ← 119.52 m → N 78.715241°
E 44.219970°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
N 78.714166°
E 44.214478°		 ← 119.53 m →
14 286 m²		 N 78.714166°
E 44.219970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622825622558594 y=0.131614685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622825622558594 × 216)
    floor (0.622825622558594 × 65536)
    floor (40817.5)     		tx = 40817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131614685058594 × 216)
    floor (0.131614685058594 × 65536)
    floor (8625.5)     		ty = 8625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40817 / 8625 ti = "16/40817/8625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40817/8625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40817 ÷ 216
    40817 ÷ 65536     		x = 0.622817993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8625 ÷ 216
    8625 ÷ 65536     		y = 0.131607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622817993164062 × 2 - 1) × π
    0.245635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77168821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131607055664062 × 2 - 1) × π
    0.736785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31468113505403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77168821} λ = 0.77168821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31468113505403))-π/2
    2×atan(10.1216949504142)-π/2
    2×1.47231822923134-π/2
    2.94463645846267-1.57079632675     		φ = 1.37384013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77168821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.214478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37384013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.715241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40817 KachelY 8625 0.77168821 1.37384013 44.214478 78.715241
    Oben rechts KachelX + 1 40818 KachelY 8625 0.77178408 1.37384013 44.219970 78.715241
    Unten links KachelX 40817 KachelY + 1 8626 0.77168821 1.37382137 44.214478 78.714166
    Unten rechts KachelX + 1 40818 KachelY + 1 8626 0.77178408 1.37382137 44.219970 78.714166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37384013-1.37382137) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dl = 119.519960000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37384013-1.37382137) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dr = 119.519960000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77168821-0.77178408) × cos(1.37384013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195685285301597 × 6371000     		do = 119.522179031173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77168821-0.77178408) × cos(1.37382137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195703682575339 × 6371000     		du = 119.533415860977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37384013)-sin(1.37382137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195685285301597-0.195703682575339)×R²
    abs(0.77178408-0.77168821)×1.83972737425042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83972737425042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83972737425042e-05×40589641000000     		ar = 14285.9575702956m²