Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40816 / 8560
↖ ↑ ↗
← N 78.784899°
E 44.208985°		 ← 118.79 m → N 78.784899°
E 44.214478°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
N 78.783831°
E 44.208985°		 ← 118.81 m →
14 108 m²		 N 78.783831°
E 44.214478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622810363769531 y=0.130622863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622810363769531 × 216)
    floor (0.622810363769531 × 65536)
    floor (40816.5)     		tx = 40816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130622863769531 × 216)
    floor (0.130622863769531 × 65536)
    floor (8560.5)     		ty = 8560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40816 / 8560 ti = "16/40816/8560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40816/8560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40816 ÷ 216
    40816 ÷ 65536     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8560 ÷ 216
    8560 ÷ 65536     		y = 0.130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130615234375 × 2 - 1) × π
    0.73876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32091293200464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32091293200464))-π/2
    2×atan(10.1849682465385)-π/2
    2×1.4729261052049-π/2
    2.9458522104098-1.57079632675     		φ = 1.37505588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37505588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.784899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40816 KachelY 8560 0.77159234 1.37505588 44.208985 78.784899
    Oben rechts KachelX + 1 40817 KachelY 8560 0.77168821 1.37505588 44.214478 78.784899
    Unten links KachelX 40816 KachelY + 1 8561 0.77159234 1.37503724 44.208985 78.783831
    Unten rechts KachelX + 1 40817 KachelY + 1 8561 0.77168821 1.37503724 44.214478 78.783831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37505588-1.37503724) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dl = 118.755439999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37505588-1.37503724) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dr = 118.755439999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77168821) × cos(1.37505588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194492895381245 × 6371000     		do = 118.793881850751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77168821) × cos(1.37503724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194511179396651 × 6371000     		du = 118.805049503748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37505588)-sin(1.37503724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194492895381245-0.194511179396651)×R²
    abs(0.77168821-0.77159234)×1.82840154065445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82840154065445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82840154065445e-05×40589641000000     		ar = 14108.0828183298m²