Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40816 / 57620
↖ ↑ ↗
← S 79.452500°
E 44.208985°		 ← 111.81 m → S 79.452500°
E 44.214478°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 79.453506°
E 44.208985°		 ← 111.79 m →
12 500 m²		 S 79.453506°
E 44.214478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622810363769531 y=0.879219055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622810363769531 × 216)
    floor (0.622810363769531 × 65536)
    floor (40816.5)     		tx = 40816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879219055175781 × 216)
    floor (0.879219055175781 × 65536)
    floor (57620.5)     		ty = 57620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40816 / 57620 ti = "16/40816/57620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40816/57620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40816 ÷ 216
    40816 ÷ 65536     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57620 ÷ 216
    57620 ÷ 65536     		y = 0.87921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.7584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38265565871527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38265565871527))-π/2
    2×atan(0.0923051208314163)-π/2
    2×0.0920442991122161-π/2
    0.184088598224432-1.57079632675     		φ = -1.38670773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38670773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.452500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40816 KachelY 57620 0.77159234 -1.38670773 44.208985 -79.452500
    Oben rechts KachelX + 1 40817 KachelY 57620 0.77168821 -1.38670773 44.214478 -79.452500
    Unten links KachelX 40816 KachelY + 1 57621 0.77159234 -1.38672528 44.208985 -79.453506
    Unten rechts KachelX + 1 40817 KachelY + 1 57621 0.77168821 -1.38672528 44.214478 -79.453506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38670773--1.38672528) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dl = 111.811050000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38670773--1.38672528) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dr = 111.811050000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77168821) × cos(-1.38670773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183050606004706 × 6371000     		do = 111.805071438761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77168821) × cos(-1.38672528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183033352510235 × 6371000     		du = 111.794533215348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38670773)-sin(-1.38672528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183050606004706-0.183033352510235)×R²
    abs(0.77168821-0.77159234)×1.72534944708203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72534944708203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72534944708203e-05×40589641000000     		ar = 12500.4532883449m²