Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40816 / 10157
↖ ↑ ↗
← N 76.944211°
E 44.208985°		 ← 137.98 m → N 76.944211°
E 44.214478°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
N 76.942970°
E 44.208985°		 ← 137.99 m →
19 041 m²		 N 76.942970°
E 44.214478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622810363769531 y=0.154991149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622810363769531 × 216)
    floor (0.622810363769531 × 65536)
    floor (40816.5)     		tx = 40816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154991149902344 × 216)
    floor (0.154991149902344 × 65536)
    floor (10157.5)     		ty = 10157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40816 / 10157 ti = "16/40816/10157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40816/10157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40816 ÷ 216
    40816 ÷ 65536     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10157 ÷ 216
    10157 ÷ 65536     		y = 0.154983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154983520507812 × 2 - 1) × π
    0.690032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16780247461818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16780247461818))-π/2
    2×atan(8.73905862117067)-π/2
    2×1.45686307999766-π/2
    2.91372615999533-1.57079632675     		φ = 1.34292983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34292983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.944211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40816 KachelY 10157 0.77159234 1.34292983 44.208985 76.944211
    Oben rechts KachelX + 1 40817 KachelY 10157 0.77168821 1.34292983 44.214478 76.944211
    Unten links KachelX 40816 KachelY + 1 10158 0.77159234 1.34290817 44.208985 76.942970
    Unten rechts KachelX + 1 40817 KachelY + 1 10158 0.77168821 1.34290817 44.214478 76.942970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34292983-1.34290817) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34292983-1.34290817) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77168821) × cos(1.34292983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225899685878735 × 6371000     		do = 137.97676538157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77168821) × cos(1.34290817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225920785927076 × 6371000     		du = 137.989653033043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34292983)-sin(1.34290817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225899685878735-0.225920785927076)×R²
    abs(0.77168821-0.77159234)×2.11000483411883e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11000483411883e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11000483411883e-05×40589641000000     		ar = 19041.1116208528m²