Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40815 / 9843
↖ ↑ ↗
← N 77.328195°
E 44.203491°		 ← 134 m → N 77.328195°
E 44.208985°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
N 77.326990°
E 44.203491°		 ← 134.01 m →
17 954 m²		 N 77.326990°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622795104980469 y=0.150199890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622795104980469 × 216)
    floor (0.622795104980469 × 65536)
    floor (40815.5)     		tx = 40815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150199890136719 × 216)
    floor (0.150199890136719 × 65536)
    floor (9843.5)     		ty = 9843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40815 / 9843 ti = "16/40815/9843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40815/9843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40815 ÷ 216
    40815 ÷ 65536     		x = 0.622787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9843 ÷ 216
    9843 ÷ 65536     		y = 0.150192260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622787475585938 × 2 - 1) × π
    0.245574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77149646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150192260742188 × 2 - 1) × π
    0.699615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19790684757957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77149646} λ = 0.77149646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19790684757957))-π/2
    2×atan(9.00614252738375)-π/2
    2×1.46021396402337-π/2
    2.92042792804674-1.57079632675     		φ = 1.34963160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77149646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34963160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.328195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40815 KachelY 9843 0.77149646 1.34963160 44.203491 77.328195
    Oben rechts KachelX + 1 40816 KachelY 9843 0.77159234 1.34963160 44.208985 77.328195
    Unten links KachelX 40815 KachelY + 1 9844 0.77149646 1.34961057 44.203491 77.326990
    Unten rechts KachelX + 1 40816 KachelY + 1 9844 0.77159234 1.34961057 44.208985 77.326990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34963160-1.34961057) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dl = 133.982129999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34963160-1.34961057) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dr = 133.982129999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77149646-0.77159234) × cos(1.34963160) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219366128708298 × 6371000     		do = 134.000124383247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77149646-0.77159234) × cos(1.34961057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219386646423867 × 6371000     		du = 134.012657660168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34963160)-sin(1.34961057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219366128708298-0.219386646423867)×R²
    abs(0.77159234-0.77149646)×2.05177155687131e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.05177155687131e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.05177155687131e-05×40589641000000     		ar = 17954.4617033534m²