Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40815 / 10157
↖ ↑ ↗
← N 76.944211°
E 44.203491°		 ← 137.99 m → N 76.944211°
E 44.208985°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
N 76.942970°
E 44.203491°		 ← 138 m →
19 043 m²		 N 76.942970°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622795104980469 y=0.154991149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622795104980469 × 216)
    floor (0.622795104980469 × 65536)
    floor (40815.5)     		tx = 40815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154991149902344 × 216)
    floor (0.154991149902344 × 65536)
    floor (10157.5)     		ty = 10157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40815 / 10157 ti = "16/40815/10157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40815/10157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40815 ÷ 216
    40815 ÷ 65536     		x = 0.622787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10157 ÷ 216
    10157 ÷ 65536     		y = 0.154983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622787475585938 × 2 - 1) × π
    0.245574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77149646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154983520507812 × 2 - 1) × π
    0.690032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16780247461818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77149646} λ = 0.77149646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16780247461818))-π/2
    2×atan(8.73905862117067)-π/2
    2×1.45686307999766-π/2
    2.91372615999533-1.57079632675     		φ = 1.34292983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77149646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34292983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.944211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40815 KachelY 10157 0.77149646 1.34292983 44.203491 76.944211
    Oben rechts KachelX + 1 40816 KachelY 10157 0.77159234 1.34292983 44.208985 76.944211
    Unten links KachelX 40815 KachelY + 1 10158 0.77149646 1.34290817 44.203491 76.942970
    Unten rechts KachelX + 1 40816 KachelY + 1 10158 0.77159234 1.34290817 44.208985 76.942970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34292983-1.34290817) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34292983-1.34290817) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77149646-0.77159234) × cos(1.34292983) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.225899685878735 × 6371000     		do = 137.99115745047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77149646-0.77159234) × cos(1.34290817) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.225920785927076 × 6371000     		du = 138.004046446227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34292983)-sin(1.34290817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225899685878735-0.225920785927076)×R²
    abs(0.77159234-0.77149646)×2.11000483411883e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.11000483411883e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.11000483411883e-05×40589641000000     		ar = 19043.0977595307m²