Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40815 / 10150
↖ ↑ ↗
← N 76.952895°
E 44.203491°		 ← 137.90 m → N 76.952895°
E 44.208985°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
N 76.951655°
E 44.203491°		 ← 137.91 m →
19 022 m²		 N 76.951655°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622795104980469 y=0.154884338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622795104980469 × 216)
    floor (0.622795104980469 × 65536)
    floor (40815.5)     		tx = 40815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154884338378906 × 216)
    floor (0.154884338378906 × 65536)
    floor (10150.5)     		ty = 10150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40815 / 10150 ti = "16/40815/10150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40815/10150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40815 ÷ 216
    40815 ÷ 65536     		x = 0.622787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10150 ÷ 216
    10150 ÷ 65536     		y = 0.154876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622787475585938 × 2 - 1) × π
    0.245574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77149646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154876708984375 × 2 - 1) × π
    0.69024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16847359121286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77149646} λ = 0.77149646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16847359121286))-π/2
    2×atan(8.74492551689856)-π/2
    2×1.45693885773704-π/2
    2.91387771547408-1.57079632675     		φ = 1.34308139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77149646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34308139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.952895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40815 KachelY 10150 0.77149646 1.34308139 44.203491 76.952895
    Oben rechts KachelX + 1 40816 KachelY 10150 0.77159234 1.34308139 44.208985 76.952895
    Unten links KachelX 40815 KachelY + 1 10151 0.77149646 1.34305974 44.203491 76.951655
    Unten rechts KachelX + 1 40816 KachelY + 1 10151 0.77159234 1.34305974 44.208985 76.951655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34308139-1.34305974) × R
    2.16500000000952e-05 × 6371000     		dl = 137.932150000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34308139-1.34305974) × R
    2.16500000000952e-05 × 6371000     		dr = 137.932150000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77149646-0.77159234) × cos(1.34308139) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.225752041024491 × 6371000     		do = 137.900968372741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77149646-0.77159234) × cos(1.34305974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.225773132072407 × 6371000     		du = 137.913851870575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34308139)-sin(1.34305974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225752041024491-0.225773132072407)×R²
    abs(0.77159234-0.77149646)×2.1091047915589e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.1091047915589e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.1091047915589e-05×40589641000000     		ar = 19021.8655797425m²