Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40813 / 9845
↖ ↑ ↗
← N 77.325784°
E 44.192505°		 ← 134.03 m → N 77.325784°
E 44.197998°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
N 77.324579°
E 44.192505°		 ← 134.04 m →
17 958 m²		 N 77.324579°
E 44.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622764587402344 y=0.150230407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622764587402344 × 216)
    floor (0.622764587402344 × 65536)
    floor (40813.5)     		tx = 40813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150230407714844 × 216)
    floor (0.150230407714844 × 65536)
    floor (9845.5)     		ty = 9845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40813 / 9845 ti = "16/40813/9845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40813/9845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40813 ÷ 216
    40813 ÷ 65536     		x = 0.622756958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9845 ÷ 216
    9845 ÷ 65536     		y = 0.150222778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622756958007812 × 2 - 1) × π
    0.245513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77130471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150222778320312 × 2 - 1) × π
    0.699554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19771509998109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77130471} λ = 0.77130471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19771509998109))-π/2
    2×atan(9.00441578673703)-π/2
    2×1.46019293059193-π/2
    2.92038586118387-1.57079632675     		φ = 1.34958953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77130471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.192505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34958953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.325784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40813 KachelY 9845 0.77130471 1.34958953 44.192505 77.325784
    Oben rechts KachelX + 1 40814 KachelY 9845 0.77140059 1.34958953 44.197998 77.325784
    Unten links KachelX 40813 KachelY + 1 9846 0.77130471 1.34956850 44.192505 77.324579
    Unten rechts KachelX + 1 40814 KachelY + 1 9846 0.77140059 1.34956850 44.197998 77.324579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34958953-1.34956850) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dl = 133.982130000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34958953-1.34956850) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dr = 133.982130000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77130471-0.77140059) × cos(1.34958953) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219407173798744 × 6371000     		do = 134.025196837647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77130471-0.77140059) × cos(1.34956850) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219427691320205 × 6371000     		du = 134.037729995998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34958953)-sin(1.34956850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219407173798744-0.219427691320205)×R²
    abs(0.77140059-0.77130471)×2.0517521461455e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.0517521461455e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.0517521461455e-05×40589641000000     		ar = 17957.8209566333m²