Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40813 / 57499
↖ ↑ ↗
← S 79.330135°
E 44.192505°		 ← 113.10 m → S 79.330135°
E 44.197998°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 79.331152°
E 44.192505°		 ← 113.09 m →
12 789 m²		 S 79.331152°
E 44.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622764587402344 y=0.877372741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622764587402344 × 216)
    floor (0.622764587402344 × 65536)
    floor (40813.5)     		tx = 40813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877372741699219 × 216)
    floor (0.877372741699219 × 65536)
    floor (57499.5)     		ty = 57499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40813 / 57499 ti = "16/40813/57499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40813/57499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40813 ÷ 216
    40813 ÷ 65536     		x = 0.622756958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57499 ÷ 216
    57499 ÷ 65536     		y = 0.877365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622756958007812 × 2 - 1) × π
    0.245513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77130471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.754730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37105492900722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77130471} λ = 0.77130471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37105492900722))-π/2
    2×atan(0.0933821627461972)-π/2
    2×0.093112136233441-π/2
    0.186224272466882-1.57079632675     		φ = -1.38457205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77130471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.192505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38457205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.330135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40813 KachelY 57499 0.77130471 -1.38457205 44.192505 -79.330135
    Oben rechts KachelX + 1 40814 KachelY 57499 0.77140059 -1.38457205 44.197998 -79.330135
    Unten links KachelX 40813 KachelY + 1 57500 0.77130471 -1.38458980 44.192505 -79.331152
    Unten rechts KachelX + 1 40814 KachelY + 1 57500 0.77140059 -1.38458980 44.197998 -79.331152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38457205--1.38458980) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38457205--1.38458980) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77130471-0.77140059) × cos(-1.38457205) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		do = 113.099017999381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77130471-0.77140059) × cos(-1.38458980) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185132338278268 × 6371000     		du = 113.088362833198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38457205)-sin(-1.38458980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185149781415483-0.185132338278268)×R²
    abs(0.77140059-0.77130471)×1.74431372142181e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74431372142181e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74431372142181e-05×40589641000000     		ar = 12789.2282546341m²