Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40813 / 57467
↖ ↑ ↗
← S 79.297540°
E 44.192505°		 ← 113.44 m → S 79.297540°
E 44.197998°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 79.298560°
E 44.192505°		 ← 113.43 m →
12 871 m²		 S 79.298560°
E 44.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622764587402344 y=0.876884460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622764587402344 × 216)
    floor (0.622764587402344 × 65536)
    floor (40813.5)     		tx = 40813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876884460449219 × 216)
    floor (0.876884460449219 × 65536)
    floor (57467.5)     		ty = 57467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40813 / 57467 ti = "16/40813/57467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40813/57467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40813 ÷ 216
    40813 ÷ 65536     		x = 0.622756958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57467 ÷ 216
    57467 ÷ 65536     		y = 0.876876831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622756958007812 × 2 - 1) × π
    0.245513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77130471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876876831054688 × 2 - 1) × π
    -0.753753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36798696743153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77130471} λ = 0.77130471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36798696743153))-π/2
    2×atan(0.0936690955577168)-π/2
    2×0.0933965809924509-π/2
    0.186793161984902-1.57079632675     		φ = -1.38400316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77130471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.192505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38400316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.297540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40813 KachelY 57467 0.77130471 -1.38400316 44.192505 -79.297540
    Oben rechts KachelX + 1 40814 KachelY 57467 0.77140059 -1.38400316 44.197998 -79.297540
    Unten links KachelX 40813 KachelY + 1 57468 0.77130471 -1.38402097 44.192505 -79.298560
    Unten rechts KachelX + 1 40814 KachelY + 1 57468 0.77140059 -1.38402097 44.197998 -79.298560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38400316--1.38402097) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38400316--1.38402097) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77130471-0.77140059) × cos(-1.38400316) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185708805494498 × 6371000     		do = 113.440498685403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77130471-0.77140059) × cos(-1.38402097) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185691305273135 × 6371000     		du = 113.429808649284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38400316)-sin(-1.38402097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185708805494498-0.185691305273135)×R²
    abs(0.77140059-0.77130471)×1.75002213621545e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75002213621545e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75002213621545e-05×40589641000000     		ar = 12871.2044334614m²