Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40812 / 57484
↖ ↑ ↗
← S 79.314868°
E 44.187012°		 ← 113.25 m → S 79.314868°
E 44.192505°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 79.315887°
E 44.187012°		 ← 113.24 m →
12 828 m²		 S 79.315887°
E 44.192505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622749328613281 y=0.877143859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622749328613281 × 216)
    floor (0.622749328613281 × 65536)
    floor (40812.5)     		tx = 40812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877143859863281 × 216)
    floor (0.877143859863281 × 65536)
    floor (57484.5)     		ty = 57484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40812 / 57484 ti = "16/40812/57484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40812/57484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40812 ÷ 216
    40812 ÷ 65536     		x = 0.62274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57484 ÷ 216
    57484 ÷ 65536     		y = 0.87713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62274169921875 × 2 - 1) × π
    0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36961682201862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77120884} λ = 0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36961682201862))-π/2
    2×atan(0.0935165528975996)-π/2
    2×0.0932453629447597-π/2
    0.186490725889519-1.57079632675     		φ = -1.38430560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38430560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.314868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40812 KachelY 57484 0.77120884 -1.38430560 44.187012 -79.314868
    Oben rechts KachelX + 1 40813 KachelY 57484 0.77130471 -1.38430560 44.192505 -79.314868
    Unten links KachelX 40812 KachelY + 1 57485 0.77120884 -1.38432338 44.187012 -79.315887
    Unten rechts KachelX + 1 40813 KachelY + 1 57485 0.77130471 -1.38432338 44.192505 -79.315887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38430560--1.38432338) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38430560--1.38432338) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77120884-0.77130471) × cos(-1.38430560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18541161800276 × 6371000     		do = 113.247148691995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77120884-0.77130471) × cos(-1.38432338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18539414626186 × 6371000     		du = 113.236477166333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38430560)-sin(-1.38432338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18541161800276-0.18539414626186)×R²
    abs(0.77130471-0.77120884)×1.74717408998881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74717408998881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74717408998881e-05×40589641000000     		ar = 12827.6226339215m²