Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40812 / 10124
↖ ↑ ↗
← N 76.985098°
E 44.187012°		 ← 137.55 m → N 76.985098°
E 44.192505°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
N 76.983861°
E 44.187012°		 ← 137.56 m →
18 921 m²		 N 76.983861°
E 44.192505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622749328613281 y=0.154487609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622749328613281 × 216)
    floor (0.622749328613281 × 65536)
    floor (40812.5)     		tx = 40812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154487609863281 × 216)
    floor (0.154487609863281 × 65536)
    floor (10124.5)     		ty = 10124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40812 / 10124 ti = "16/40812/10124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40812/10124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40812 ÷ 216
    40812 ÷ 65536     		x = 0.62274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10124 ÷ 216
    10124 ÷ 65536     		y = 0.15447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62274169921875 × 2 - 1) × π
    0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15447998046875 × 2 - 1) × π
    0.6910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1709663099931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77120884} λ = 0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1709663099931))-π/2
    2×atan(8.76675134849502)-π/2
    2×1.45721988454353-π/2
    2.91443976908707-1.57079632675     		φ = 1.34364344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34364344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.985098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40812 KachelY 10124 0.77120884 1.34364344 44.187012 76.985098
    Oben rechts KachelX + 1 40813 KachelY 10124 0.77130471 1.34364344 44.192505 76.985098
    Unten links KachelX 40812 KachelY + 1 10125 0.77120884 1.34362185 44.187012 76.983861
    Unten rechts KachelX + 1 40813 KachelY + 1 10125 0.77130471 1.34362185 44.192505 76.983861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34364344-1.34362185) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34364344-1.34362185) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77120884-0.77130471) × cos(1.34364344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225204464831397 × 6371000     		do = 137.552132868409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77120884-0.77130471) × cos(1.34362185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225225500164747 × 6371000     		du = 137.564980992757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34364344)-sin(1.34362185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225204464831397-0.225225500164747)×R²
    abs(0.77130471-0.77120884)×2.10353333501556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10353333501556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10353333501556e-05×40589641000000     		ar = 18921.1643751992m²