Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40811 / 9840
↖ ↑ ↗
← N 77.331809°
E 44.181519°		 ← 133.95 m → N 77.331809°
E 44.187012°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
N 77.330604°
E 44.181519°		 ← 133.96 m →
17 948 m²		 N 77.330604°
E 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622734069824219 y=0.150154113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622734069824219 × 216)
    floor (0.622734069824219 × 65536)
    floor (40811.5)     		tx = 40811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150154113769531 × 216)
    floor (0.150154113769531 × 65536)
    floor (9840.5)     		ty = 9840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40811 / 9840 ti = "16/40811/9840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40811/9840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40811 ÷ 216
    40811 ÷ 65536     		x = 0.622726440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9840 ÷ 216
    9840 ÷ 65536     		y = 0.150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622726440429688 × 2 - 1) × π
    0.245452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77111297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150146484375 × 2 - 1) × π
    0.69970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19819446897729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77111297} λ = 0.77111297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19819446897729))-π/2
    2×atan(9.00873325924264)-π/2
    2×1.46024550679354-π/2
    2.92049101358709-1.57079632675     		φ = 1.34969469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77111297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.181519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34969469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.331809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40811 KachelY 9840 0.77111297 1.34969469 44.181519 77.331809
    Oben rechts KachelX + 1 40812 KachelY 9840 0.77120884 1.34969469 44.187012 77.331809
    Unten links KachelX 40811 KachelY + 1 9841 0.77111297 1.34967366 44.181519 77.330604
    Unten rechts KachelX + 1 40812 KachelY + 1 9841 0.77120884 1.34967366 44.187012 77.330604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34969469-1.34967366) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dl = 133.982129999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34969469-1.34967366) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dr = 133.982129999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77111297-0.77120884) × cos(1.34969469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219304574979526 × 6371000     		do = 133.948552302539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77111297-0.77120884) × cos(1.34967366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219325092986118 × 6371000     		du = 133.961084450031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34969469)-sin(1.34967366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219304574979526-0.219325092986118)×R²
    abs(0.77120884-0.77111297)×2.05180065926958e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05180065926958e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05180065926958e-05×40589641000000     		ar = 17947.5518904424m²