Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40811 / 57469
↖ ↑ ↗
← S 79.299580°
E 44.181519°		 ← 113.41 m → S 79.299580°
E 44.187012°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 79.300600°
E 44.181519°		 ← 113.40 m →
12 860 m²		 S 79.300600°
E 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622734069824219 y=0.876914978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622734069824219 × 216)
    floor (0.622734069824219 × 65536)
    floor (40811.5)     		tx = 40811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876914978027344 × 216)
    floor (0.876914978027344 × 65536)
    floor (57469.5)     		ty = 57469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40811 / 57469 ti = "16/40811/57469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40811/57469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40811 ÷ 216
    40811 ÷ 65536     		x = 0.622726440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57469 ÷ 216
    57469 ÷ 65536     		y = 0.876907348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622726440429688 × 2 - 1) × π
    0.245452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77111297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876907348632812 × 2 - 1) × π
    -0.753814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36817871503001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77111297} λ = 0.77111297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36817871503001))-π/2
    2×atan(0.0936511364554541)-π/2
    2×0.0933787780613693-π/2
    0.186757556122739-1.57079632675     		φ = -1.38403877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77111297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.181519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38403877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.299580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40811 KachelY 57469 0.77111297 -1.38403877 44.181519 -79.299580
    Oben rechts KachelX + 1 40812 KachelY 57469 0.77120884 -1.38403877 44.187012 -79.299580
    Unten links KachelX 40811 KachelY + 1 57470 0.77111297 -1.38405657 44.181519 -79.300600
    Unten rechts KachelX + 1 40812 KachelY + 1 57470 0.77120884 -1.38405657 44.187012 -79.300600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38403877--1.38405657) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38403877--1.38405657) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77111297-0.77120884) × cos(-1.38403877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185673814818987 × 6371000     		do = 113.407295300679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77111297-0.77120884) × cos(-1.38405657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18565632430601 × 6371000     		du = 113.396612309262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38403877)-sin(-1.38405657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185673814818987-0.18565632430601)×R²
    abs(0.77120884-0.77111297)×1.74905129772807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74905129772807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74905129772807e-05×40589641000000     		ar = 12860.2124892249m²