Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40810 / 9930
↖ ↑ ↗
← N 77.222931°
E 44.176025°		 ← 135.09 m → N 77.222931°
E 44.181519°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
N 77.221716°
E 44.176025°		 ← 135.11 m →
18 247 m²		 N 77.221716°
E 44.181519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622718811035156 y=0.151527404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622718811035156 × 216)
    floor (0.622718811035156 × 65536)
    floor (40810.5)     		tx = 40810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151527404785156 × 216)
    floor (0.151527404785156 × 65536)
    floor (9930.5)     		ty = 9930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40810 / 9930 ti = "16/40810/9930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40810/9930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40810 ÷ 216
    40810 ÷ 65536     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9930 ÷ 216
    9930 ÷ 65536     		y = 0.151519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151519775390625 × 2 - 1) × π
    0.69696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18956582704568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18956582704568))-π/2
    2×atan(8.93133452887277)-π/2
    2×1.4592953631994-π/2
    2.91859072639881-1.57079632675     		φ = 1.34779440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34779440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.222931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40810 KachelY 9930 0.77101709 1.34779440 44.176025 77.222931
    Oben rechts KachelX + 1 40811 KachelY 9930 0.77111297 1.34779440 44.181519 77.222931
    Unten links KachelX 40810 KachelY + 1 9931 0.77101709 1.34777320 44.176025 77.221716
    Unten rechts KachelX + 1 40811 KachelY + 1 9931 0.77111297 1.34777320 44.181519 77.221716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34779440-1.34777320) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34779440-1.34777320) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.34779440) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221158208088661 × 6371000     		do = 135.094818725174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.34777320) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221178883083369 × 6371000     		du = 135.107448076291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34779440)-sin(1.34777320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221158208088661-0.221178883083369)×R²
    abs(0.77111297-0.77101709)×2.06749947079254e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.06749947079254e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.06749947079254e-05×40589641000000     		ar = 18247.4616037487m²