Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40810 / 9866
↖ ↑ ↗
← N 77.300450°
E 44.176025°		 ← 134.29 m → N 77.300450°
E 44.181519°		 →
↑
134.30 m
↓
↑
134.30 m
↓
N 77.299242°
E 44.176025°		 ← 134.30 m →
18 036 m²		 N 77.299242°
E 44.181519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622718811035156 y=0.150550842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622718811035156 × 216)
    floor (0.622718811035156 × 65536)
    floor (40810.5)     		tx = 40810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150550842285156 × 216)
    floor (0.150550842285156 × 65536)
    floor (9866.5)     		ty = 9866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40810 / 9866 ti = "16/40810/9866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40810/9866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40810 ÷ 216
    40810 ÷ 65536     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9866 ÷ 216
    9866 ÷ 65536     		y = 0.150543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150543212890625 × 2 - 1) × π
    0.69891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19570175019705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19570175019705))-π/2
    2×atan(8.98630498596358)-π/2
    2×1.45997184184018-π/2
    2.91994368368036-1.57079632675     		φ = 1.34914736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34914736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.300450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40810 KachelY 9866 0.77101709 1.34914736 44.176025 77.300450
    Oben rechts KachelX + 1 40811 KachelY 9866 0.77111297 1.34914736 44.181519 77.300450
    Unten links KachelX 40810 KachelY + 1 9867 0.77101709 1.34912628 44.176025 77.299242
    Unten rechts KachelX + 1 40811 KachelY + 1 9867 0.77111297 1.34912628 44.181519 77.299242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34914736-1.34912628) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dl = 134.300680000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34914736-1.34912628) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dr = 134.300680000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.34914736) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219838548147681 × 6371000     		do = 134.28870249713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.34912628) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219859112403392 × 6371000     		du = 134.301264203166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34914736)-sin(1.34912628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219838548147681-0.219859112403392)×R²
    abs(0.77111297-0.77101709)×2.05642557112029e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.05642557112029e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.05642557112029e-05×40589641000000     		ar = 18035.9075853343m²