Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40810 / 8522
↖ ↑ ↗
← N 78.825425°
E 44.176025°		 ← 118.38 m → N 78.825425°
E 44.181519°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 78.824360°
E 44.176025°		 ← 118.39 m →
14 014 m²		 N 78.824360°
E 44.181519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622718811035156 y=0.130043029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622718811035156 × 216)
    floor (0.622718811035156 × 65536)
    floor (40810.5)     		tx = 40810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130043029785156 × 216)
    floor (0.130043029785156 × 65536)
    floor (8522.5)     		ty = 8522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40810 / 8522 ti = "16/40810/8522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40810/8522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40810 ÷ 216
    40810 ÷ 65536     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8522 ÷ 216
    8522 ÷ 65536     		y = 0.130035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130035400390625 × 2 - 1) × π
    0.73992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32455613637576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32455613637576))-π/2
    2×atan(10.2221418417594)-π/2
    2×1.47327976155671-π/2
    2.94655952311343-1.57079632675     		φ = 1.37576320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37576320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.825425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40810 KachelY 8522 0.77101709 1.37576320 44.176025 78.825425
    Oben rechts KachelX + 1 40811 KachelY 8522 0.77111297 1.37576320 44.181519 78.825425
    Unten links KachelX 40810 KachelY + 1 8523 0.77101709 1.37574462 44.176025 78.824360
    Unten rechts KachelX + 1 40811 KachelY + 1 8523 0.77111297 1.37574462 44.181519 78.824360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37576320-1.37574462) × R
    1.85799999998792e-05 × 6371000     		dl = 118.373179999231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37576320-1.37574462) × R
    1.85799999998792e-05 × 6371000     		dr = 118.373179999231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.37576320) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193799033821031 × 6371000     		do = 118.382426632206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.37574462) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193817261534006 × 6371000     		du = 118.393561057654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37576320)-sin(1.37574462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193799033821031-0.193817261534006)×R²
    abs(0.77111297-0.77101709)×1.82277129752717e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82277129752717e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82277129752717e-05×40589641000000     		ar = 14013.9633053511m²