Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40810 / 10132
↖ ↑ ↗
← N 76.975198°
E 44.176025°		 ← 137.67 m → N 76.975198°
E 44.181519°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
N 76.973960°
E 44.176025°		 ← 137.68 m →
18 955 m²		 N 76.973960°
E 44.181519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622718811035156 y=0.154609680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622718811035156 × 216)
    floor (0.622718811035156 × 65536)
    floor (40810.5)     		tx = 40810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154609680175781 × 216)
    floor (0.154609680175781 × 65536)
    floor (10132.5)     		ty = 10132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40810 / 10132 ti = "16/40810/10132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40810/10132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40810 ÷ 216
    40810 ÷ 65536     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10132 ÷ 216
    10132 ÷ 65536     		y = 0.15460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15460205078125 × 2 - 1) × π
    0.6907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17019931959918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17019931959918))-π/2
    2×atan(8.7600299123928)-π/2
    2×1.4571334874365-π/2
    2.914266974873-1.57079632675     		φ = 1.34347065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34347065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.975198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40810 KachelY 10132 0.77101709 1.34347065 44.176025 76.975198
    Oben rechts KachelX + 1 40811 KachelY 10132 0.77111297 1.34347065 44.181519 76.975198
    Unten links KachelX 40810 KachelY + 1 10133 0.77101709 1.34344904 44.176025 76.973960
    Unten rechts KachelX + 1 40811 KachelY + 1 10133 0.77111297 1.34344904 44.181519 76.973960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34347065-1.34344904) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34347065-1.34344904) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.34347065) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225372812757181 × 6371000     		do = 137.669316224556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77111297) × cos(1.34344904) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225393866735399 × 6371000     		du = 137.68217707831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34347065)-sin(1.34344904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225372812757181-0.225393866735399)×R²
    abs(0.77111297-0.77101709)×2.10539782179997e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.10539782179997e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.10539782179997e-05×40589641000000     		ar = 18954.8264516237m²